1 Σύνοψη θεωρίας και αποδείξεις
Γενικά
Για ένα μέγεθος Θ, ονομάζω ρυθμό μεταβολής του το λόγο
![\frac {\Delta \theta} {\Delta t} = \frac {\Theta_f - \Theta_i }{t_f - t_i}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac&space;{\Delta&space;\Theta}&space;{\Delta&space;t}&space;=&space;\frac&space;{\Theta_f&space;-&space;\Theta_i&space;}{t_f&space;-&space;t_i})
που εκφράζει τη μεταβολή του μεγέθους Θ στο χρονικό διάστημα Δt. Θ
f, Θ
i είναι οι τελική και αρχική τιμή του μεγέθους αντίστοιχα και t
f , t
i οι τελική και η αρχική χρονική στιγμή της παρατήρησης.
Όταν
ο παραπάνω λόγος τείνει στην παράγωγο της συνάρτησης Θ(t) σε δεδομένο t και γράφουμε
για να συμβολίσουμε τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του μεγέθους Θ σε δεδομένη χρονική στιγμή.
Ρυθμοί μεταβολής της θέσης και της ταχύτητας
- η ταχύτητα ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι και άρα όταν
μιλάμε για τη στιγμιαία ταχύτητα
δηλαδή η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του κινητού. Αν η ταχύτητα είναι σταθερή, δεν έχει σημασία σε ποια θέση την υπολογίζουμε. Αν όμως η ταχύτητα είναι μεταβαλλόμενη, πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο σε συγκεκριμένη θέση δηλαδή για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t - Ομοίως η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι
ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t. Και πάλι έχουμε την ίδια ειδική περίπτωση ότι αν ο ρυθμός είναι σταθερός, θα έχει πάντα την ίδια τιμή, άρα δεν έχει σημασία σε ποιά χρονική στιγμή ή σε ποιο σημείο της τροχιάς θα το υπολογίσουμε.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη τότε οι ρυθμοί μεταβολής νοούνται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ, δηλ
![\vec{v(t)} = \frac {\vec{x}(t)}{dt} \: \text{ , } \: \vec{a}(t) = \frac {\vec{v}(t)}{dt}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\vec{v(t)}&space;=&space;\frac&space;{\vec{x}(t)}{dt}&space;\:&space;\text{&space;,&space;}&space;\:&space;\vec{a}(t)&space;=&space;\frac&space;{\vec{v}(t)}{dt})
Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
- Μεταξύ δυο θέσεων μπορώ να πάρω ΘΜΚΕ:
![\Delta K = \sum W](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\Delta&space;K&space;=&space;\sum&space;W)
- αν οι δυο θέσεις απέχουν μικρή απόσταση dx (για
) η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκείται στο σώμα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή για το dx, οπότε η στοιχειώδης μεταβολή στην κινητική ενέργεια γράφεται: ![dk = \sum F dx \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \frac {dx}{dt} \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;dk&space;=&space;\sum&space;F&space;dx&space;\Rightarrow&space;\frac&space;{dk}{dt}&space;=&space;\sum&space;F&space;\frac&space;{dx}{dt}&space;\Rightarrow&space;\frac&space;{dk}{dt}&space;=&space;\sum&space;F&space;\cdot&space;v(t))
Άρα για το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα έχω ![\frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\frac&space;{dk}{dt}&space;=&space;\sum&space;F&space;\cdot&space;v(t))
Επίσης, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε μια θέση ισούται με την ισχύ της συνισταμένης δύναμης στο σημείο αυτό, δηλ ![\frac {dk}{dt} = \frac {dW} {dt} = P](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\frac&space;{dk}{dt}&space;=&space;\frac&space;{dW}&space;{dt}&space;=&space;P)
Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας
Προφανώς έχει νόημα στις περιπτώσεις που διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Έτσι αν
και επειδή Ε=σταθ δηλ
έχουμε ότι
που σημαίνει ότι αν διατηρείται η μηχανική ενέργεια, σε κάθε χρονική στιγμή οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας έχουν ίση απόλυτη τιμή αλλά αντίθετα πρόσημα
Ρυθμός μεταβολής της ορμής
Ξεκινώντας από τον 2ο Ν του Νεύτωνα δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ορμής σε μια θέση ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση αυτή.
Θα εξετάσουμε κυρίως κινήσεις σε ευθεία, οπότε μπορούμε να γράψουμε
Η σχέση όμως είναι γενικότερη δηλ,
![\sum \vec{F} = \frac {d \vec{P}}{dt}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?\inline&space;\sum&space;\vec{F}&space;=&space;\frac&space;{d&space;\vec{P}}{dt})