0Θ2: Επανάληψη της έννοιας της Ενέργειας

1 Γενικά για την Ενέργεια και διατήρησή της στο σύμπαν

Κάθε φυσικό σύστημα περιέχει (ή αποθηκεύει) μια ποσότητα που ονομάζεται ενέργεια και εκφράζει την ποσότητα του έργου που μπορεί να αποδώσει το σύστημα. Μέσω του υπολογισμού της ποσότητας της ενέργειας που περιέχει το σύστημα σε διάφορες καταστάσεις μπορεί να προβλεφθεί η εξέλιξή του στο χρόνο.

Μονάδα ενέργειας στο S.I. είναι το 1 Joule (=1N m) δηλ. ίδια με τη μονάδα του έργου.

Μπορούμε να μιλήσουμε για διάφορες μορφές ενέργειας

Μηχανική (= Κινητική + Δυναμική)
Χημική
Θερμική
Ηλεκτρική
κλπ

Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας: Η συνολική ποσότητα ενέργειας στο Σύμπαν είναι σταθερή, η ενέργεια δεν γεννιέται ούτε χάνεται αλλά μετατρέπεται από μια μορφή σε άλλες, δηλ

$E_{A} + \sum {W} = E_{T}$

όπου Ε_Α και Ε_Τ οι αρχική και τελική κατάσταση του συστήματος και ΣW το αλγεβρικό άθροισμα των απωλειών ή κερδών του συστήματος σε ενέργεια (π.χ. αν πρόκειται για μηχανικό σύστημα τότε το ΣW είναι τα αρνητικά έργα των δυνάμεων απωλειών)

2 Μηχανική Ενέργεια

Μηχανική ενέργεια έχει ένα μηχανικό σύστημα λόγω της κίνησης των σωμάτων που το αποτελούν (κινητική ενέργεια) ή λόγω εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτά (π.χ. βαρυτική δυναμική ενέργεια, δυνάμεις από ελατήρια).

Για το κάθε σώμα που απαρτίζει το μηχανικό σύστημα θα έχω:

$E_{M_{i}} =K_{i} + \sum U_{i}$

όπου Κi είναι η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος και Ui κάθε δυναμική ενέργεια που έχει το κάθε σώμα.

Η συνολική μηχανική ενέργεια του συστήματος θα είναι το άθροισμα όλων των μηχανικών ενεργειών όλων των σωμάτων που το αποτελούν, δηλ

$E_{M} = \sum E_{i}$

2.1 Κινητική Ενέργεια

Κινητική ενέργεια έχει ένα σώμα όταν κινείται με ταχύτητα v. Αποδεικνύεται ότι η κινητική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που κινείται με ταχύτητα v ισούται με

$K = \frac {1} {2} m v^{2}$ (1)

Απόδειξη

Έστω ακίνητο σώμα με μάζα m στο οποίο ασκείται σταθερή δύναμη F για χρόνο t. Το έργο της δύναμης είναι:

$W = Fx = ma (\frac {1}{2}at^2) = \frac {1}{2} m a^2 t^2 = \frac {1}{2} m v^2 = K$

όπου χρησιμοποιήσαμε τις εξισώσεις της Ευθύγραμμης Ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης με μηδενική αρχική ταχύτητα $x = \frac {1}{2} at^2$ και $v = a t$ και το 2ο Ν του Νεύτωνα F=mα

Παρατήρηση 1: Η σχέση (1) δίνει την κινητική ενέργεια σε μια χρονική στιγμή αν v είναι η στιγμιαία ταχύτητα, οτιδήποτε κίνηση και αν κάνει το σώμα.

Παρατήρηση 2: Προφανώς, η κινητική ενέργεια ενός σώματος εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς, εφόσον σε διαφορετικά συστήματα ένα σώμα μπορεί να έχει διαφορετικές ταχύτητες.

2.2 Βαρυτική δυναμική ενέργεια

Είναι η ενέργεια που έχει ένα σώμα λόγω της δύναμης του βάρους που του ασκεί η Γη. Αν ένα σώμα που βρίσκεται σε μια θέση (1) αφεθεί να κινηθεί προς μια θέση (2) το βάρος του παράγει έργο.

Στα προβλήματα που θα μας απασχολήσουν οι κινήσεις είναι μικρές και κοντά στην επιφάνεια της Γης, άρα η επιτάχυνση της βαρύτητα g μπορεί να θεωρηθεί σταθερή και άρα για τον υπολογισμό του έργου, μπορεί να χρησιμοποιείται η σχέση

W = B h = mg h

όπου Β = m g η δύναμη του βάρους και h η απόσταση της μετακίνησης πάνω στην κατακόρυφο.

potential energy close to Earth

Συνεπώς, θεωρώντας ένα επίπεδο όπου η δυναμική ενέργεια είναι 0, έχουμε

Δυναμική ενέργεια στη θέση (1): U₁ = mgh₁
Δυναμική ενέργεια στη θέση (2): U₂ = mgh₂
Διαφορά δυναμικής ενέργειας (1) -> (2): $\Delta U = U_2 - U_1 = mgh_2 - mgh_1 = - mgh < 0$ διότι h₁ > h₂
Η τελευταία σχέση σημαίνει ότι $W_{B,(1) -> (2)} = -\Delta U_{(1)->(2)}$

2.3 Δυναμική Ενέργεια λόγω παραμόρφωσης

Elastic Potential energy

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ιδανικό ελατήριο φυσικού μήκους Lo και δεμένο σε αυτό ένα σώμα m (υλικό σημείο). Όταν το σώμα m βρίσκεται στη θέση φυσικού μήκους (ΘΦΜ) δεν δέχεται δύναμη από το ελατήριο.

Όταν (για οποιονδήποτε λόγο), το σώμα m βρίσκεται σε μια άλλη θέση L (π.χ. L > Lo) το ελατήριο ασκεί πάνω στο σώμα, δύναμη μέτρου F = k|L-Lo| όπου |L-Lo| είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου (σύμφωνα με το νόμο Hooke) . Αν το m αφεθεί να κινηθεί, η F τείνει να το επαναφέρει στη θέση Lo και άρα παράγει έργο W. Άρα σε οποιαδήποτε θέση μακριά από τη ΘΦΜ το σώμα έχει ελαστική δυναμική ενέργεια. Αποδεικνύεται (με παρόμοιο τρόπο όπως στην παραγραφο 1-3γ και σχέση 1.13 του σχολικού βιβλίου Γ Λυκείου εδώ) ότι σε κάθε θέση που απέχει x από τη ΘΦΜ η ελαστική δυναμική ενέργεια δίνεται από τη σχέση

$U = \frac {1}{2} k x^2$

όπου k η σταθερά επαναφοράς και x η παραμόρφωση (είτε συμπίεση, είτε επιμήκυνση)

2.4 Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε)

Διατυπώνεται ως: Η μεταβολή στην κινητική ενέργεια ενός σώματος κατά την κίνησή του μεταξύ 2 θέσεων, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του ή ισοδύναμα με το έργο της συνισταμένης των δυνάμεων μεταξύ αυτών των 2 θέσεων

$\Delta K = \sum W_F_i = W_{\sum F}$

Ισχύει για ΈΝΑ σώμα!
Ισχύει ΠΑΝΤΑ, ανεξάρτητα αν οι δυνάμεις είναι σταθερές ή όχι (στην περίπτωση αυτή μπορεί να έχουμε προβλήματα να υπολογίσουμε το έργο)
Διευκολύνει τους υπολογισμούς όταν δεν εμπλέκεται ο χρόνος.

Βιβλιογραφία:

Υλικό Φυσικής Χημείας, Δ. Μάργαρης (βλ. εδώ!)

3 Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας (ΑΔΜΕ)

Αν σε ένα σύστημα ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις, τότε μεταξύ δυο καταστάσεων (π.χ. μεταξύ δυο θέσεων (1) και (2) ) ισχύει

$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$

Δηλαδή η μηχανική ενέργεια στις θέσεις (1) και (2) παραμένει σταθερή.

ΠΡΟΣΟΧΗ: για να εφαρμοστεί πρέπει να ασκούνται μόνο συντηρητικές δυνάμεις ή τα έργα των μη συντηρητικών δυνάμεων που τυχόν ασκούνται να είναι μηδέν