0Θ3: Ρυθμοί μεταβολής

Σύνοψη γνώσεων ρυθμών μεταβολής έως Αρχή Γ' Λυκείου

1 Σύνοψη θεωρίας και αποδείξεις

Γενικά

Για ένα μέγεθος Θ, ονομάζω ρυθμό μεταβολής του το λόγο $\frac {\Delta \theta} {\Delta t} = \frac {\Theta_f - \Theta_i }{t_f - t_i}$ που εκφράζει τη μεταβολή του μεγέθους Θ στο χρονικό διάστημα Δt. Θ_f, Θ_i είναι οι τελική και αρχική τιμή του μεγέθους αντίστοιχα και t_f , t_i οι τελική και η αρχική χρονική στιγμή της παρατήρησης.

Όταν $\Delta t \rightarrow 0$ ο παραπάνω λόγος τείνει στην παράγωγο της συνάρτησης Θ(t) σε δεδομένο t και γράφουμε $\frac {d\Theta(t)}{dt}$ για να συμβολίσουμε τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του μεγέθους Θ σε δεδομένη χρονική στιγμή.

Ρυθμοί μεταβολής της θέσης και της ταχύτητας

η ταχύτητα ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι και άρα όταν $\Delta t \rightarrow 0$ μιλάμε για τη στιγμιαία ταχύτητα $v = \frac {dx(t)}{d t}$ δηλαδή η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του κινητού. Αν η ταχύτητα είναι σταθερή, δεν έχει σημασία σε ποια θέση την υπολογίζουμε. Αν όμως η ταχύτητα είναι μεταβαλλόμενη, πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο σε συγκεκριμένη θέση δηλαδή για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t
Ομοίως η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι $\alpha = \frac {dv(t)}{d t}$ ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t. Και πάλι έχουμε την ίδια ειδική περίπτωση ότι αν ο ρυθμός είναι σταθερός, θα έχει πάντα την ίδια τιμή, άρα δεν έχει σημασία σε ποιά χρονική στιγμή ή σε ποιο σημείο της τροχιάς θα το υπολογίσουμε.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη τότε οι ρυθμοί μεταβολής νοούνται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ, δηλ $\vec{v(t)} = \frac {\vec{x}(t)}{dt} \: \text{ , } \: \vec{a}(t) = \frac {\vec{v}(t)}{dt}$

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας

Μεταξύ δυο θέσεων μπορώ να πάρω ΘΜΚΕ: $\Delta K = \sum W$
αν οι δυο θέσεις απέχουν μικρή απόσταση dx (για $\Delta t \rightarrow 0$ ) η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκείται στο σώμα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή για το dx, οπότε η στοιχειώδης μεταβολή στην κινητική ενέργεια γράφεται:
$dk = \sum F dx \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \frac {dx}{dt} \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)$

Άρα για το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα έχω $\frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)$

Επίσης, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε μια θέση ισούται με την ισχύ της συνισταμένης δύναμης στο σημείο αυτό, δηλ $\frac {dk}{dt} = \frac {dW} {dt} = P$

Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας

Προφανώς έχει νόημα στις περιπτώσεις που διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Έτσι αν $E = K + U \Rightarrow \frac {dE}{dt} = \frac {dK}{dt} + \frac {dU} {dt}$ και επειδή Ε=σταθ δηλ $\frac {dE}{dt} = 0$ έχουμε ότι $\frac {dK}{dt} =- \frac {dU} {dt}$ που σημαίνει ότι αν διατηρείται η μηχανική ενέργεια, σε κάθε χρονική στιγμή οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας έχουν ίση απόλυτη τιμή αλλά αντίθετα πρόσημα

Ρυθμός μεταβολής της ορμής

Ξεκινώντας από τον 2ο Ν του Νεύτωνα δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ορμής σε μια θέση ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση αυτή.

Θα εξετάσουμε κυρίως κινήσεις σε ευθεία, οπότε μπορούμε να γράψουμε $\sum F = ma \Rightarrow \sum F = m \frac {dv}{dt} \Rightarrow \sum F = \frac {d(mv)}{dt} \Rightarrow \sum F = \frac {dP}{dt}$ Η σχέση όμως είναι γενικότερη δηλ,

$\sum \vec{F} = \frac {d \vec{P}}{dt}$

1.1 Παράδειγμα 1

Παράδειγμα1

Σώμα m=3Kg εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t_o=0s με ταχύτητα v_o=5m/s σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής μ=0,1. Να βρείτε

Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος για όσο χρόνο αυτό κινείται
Το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του ενέργειας τη χρονική στιγμή t₁=3s

Λύση

Στο σώμα ασκούνται α) το βάρος του και β) τριβή ολίσθησης αντίθετα από την ταχύτητά του. Ορίζω χ'χ τον άξονα της κίνησης με θετική φορά προς τα δεξιά και y'y τον κάθετο σε αυτόν. Το σώμα κάνει στον χ'χ ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και σταματάει αφού διανύσει διάστημα Sολ

Τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης $\sum F_x = T = -\mu m g$ . Άρα για όσο κινείται στον χ'χ ο ρυθμός μεταβολής της ορμής θα είναι

$\frac {dP}{dt} = -T = - \mu m g = - 0,1 \cdot 3 \cdot 10 = -3 \: Kg m /s^2$

Η επιτάχυνση στον χ'χ θα είναι $\alpha = \frac {T} {m} = -\mu g = -0,1 \cdot 10 = -1 m/s^2$ Άρα το σώμα θα σταματήσει μετά από $0 = 5 - |\alpha| \Delta t \Rightarrow \Delta t = 5 sec$ Συνεπώς στο 3 δευτερόλεπτο της κίνησης θα έχει ταχύτητα: $v(3) = 5-1 \cdot 3 = 2 m/s$ . Έτσι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας για t=3s θα είναι:

$\frac {dK}{dt}|_{t=3} = \sum F_x \cdot v(3) \Rightarrow \frac {dK}{dt}|_{t=3} = - \mu m g \: v(3 ) = -0,1 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 2 = -6 J/s$

ΠΡΟΣΟΧΗ: ο ρυθμός απώλειας κινητικής ενέργειας ΔΕΝ είναι σταθερός και άρα θα είναι ΛΑΘΟΣ αν πάρουμε τον τύπο (κινητική στα 3 sec - αρχική κινητική)/3 διότι αυτό μας δίνει το μέσο ρυθμό απώλειας στα πρώτα 3sec της κίνησης και όχι τον στιγμιαίο ρυθμό στο 3ο δευτερόλεπτο.

1.2 Παράδειγμα 2

Σώμα μάζας m=3 Kg κάνει ελεύθερη πτώση από αρχικό ύψος Η=10m. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της ορμής και το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του όταν βρίσκεται σε ύψος h=3m πάνω από το έδαφος. Δίνεται g=10m/s²

Λύση:

Στο σώμα ασκείται μόνο το βάρος και αυτό θεωρείται σταθερό για την κίνηση αυτή. Θεωρώ ως θετική φορά τη φορά της κίνησης (προς τα κάτω). Άρα ο ρυθμός μεταβολής της ορμής θα είναι: $\frac {dP} {dt} = \sum F = B = mg = 30N$ σε όλα τα σημεία της τροχιάς άρα και στο ζητούμενο ύψος.

Στο ζητούμενο ύψος το σώμα έχει κινηθεί για χρόνο Δt και έχει ταχύτητα $v = g \Delta t$ . Ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας θα είναι: $\frac {du}{dt} = -\frac {dK} {dt} = - (\sum F) v(\Delta t) = - mg \: g\Delta t = -mg^2 \Delta t$ [1]

υπολογίζω το χρόνο που χρειάζεται για να πέσει από τα 10m στα 3m

$10-3 = \frac {1}{2} 10 \Delta t^2 \Rightarrow \Delta t^2 = 1,4 \Rightarrow \Delta t = 1,18s$

Άρα με αντικατάσταση στην [1]: $\frac {dU}{dt} = - 3 \cdot 10^2 \cdot 1,18 = -354J/s$

Αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι το σώμα χάνει δυναμική ενέργεια. Αντίστοιχα, το πρόσημο του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι θετικό διότι το σώμα επιταχύνει και κερδίζει αυτή την ενέργεια με τη μορφή κινητικής.

ιστοχώρος:	Τηλεκπαίδευση
Μάθημα:	Φυσική Ο.Π. Γ Λυκείου
Book:	0Θ3: Ρυθμοί μεταβολής
Printed by:	Επισκέπτης
Date:	Παρασκευή, 10 Μάιος 2024, 7:28 μμ