0Θ3: Ρυθμοί μεταβολής

1 Σύνοψη θεωρίας και αποδείξεις

Γενικά

Για ένα μέγεθος Θ, ονομάζω ρυθμό μεταβολής του το λόγο $\frac {\Delta \theta} {\Delta t} = \frac {\Theta_f - \Theta_i }{t_f - t_i}$ που εκφράζει τη μεταβολή του μεγέθους Θ στο χρονικό διάστημα Δt. Θ_f, Θ_i είναι οι τελική και αρχική τιμή του μεγέθους αντίστοιχα και t_f , t_i οι τελική και η αρχική χρονική στιγμή της παρατήρησης.

Όταν $\Delta t \rightarrow 0$ ο παραπάνω λόγος τείνει στην παράγωγο της συνάρτησης Θ(t) σε δεδομένο t και γράφουμε $\frac {d\Theta(t)}{dt}$ για να συμβολίσουμε τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής του μεγέθους Θ σε δεδομένη χρονική στιγμή.

Ρυθμοί μεταβολής της θέσης και της ταχύτητας

η ταχύτητα ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι και άρα όταν $\Delta t \rightarrow 0$ μιλάμε για τη στιγμιαία ταχύτητα $v = \frac {dx(t)}{d t}$ δηλαδή η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του κινητού. Αν η ταχύτητα είναι σταθερή, δεν έχει σημασία σε ποια θέση την υπολογίζουμε. Αν όμως η ταχύτητα είναι μεταβαλλόμενη, πρέπει να υπολογίσουμε την παράγωγο σε συγκεκριμένη θέση δηλαδή για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t
Ομοίως η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι $\alpha = \frac {dv(t)}{d t}$ ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t. Και πάλι έχουμε την ίδια ειδική περίπτωση ότι αν ο ρυθμός είναι σταθερός, θα έχει πάντα την ίδια τιμή, άρα δεν έχει σημασία σε ποιά χρονική στιγμή ή σε ποιο σημείο της τροχιάς θα το υπολογίσουμε.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν η κίνηση δεν είναι ευθύγραμμη τότε οι ρυθμοί μεταβολής νοούνται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ, δηλ $\vec{v(t)} = \frac {\vec{x}(t)}{dt} \: \text{ , } \: \vec{a}(t) = \frac {\vec{v}(t)}{dt}$

Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας

Μεταξύ δυο θέσεων μπορώ να πάρω ΘΜΚΕ: $\Delta K = \sum W$
αν οι δυο θέσεις απέχουν μικρή απόσταση dx (για $\Delta t \rightarrow 0$ ) η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκείται στο σώμα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή για το dx, οπότε η στοιχειώδης μεταβολή στην κινητική ενέργεια γράφεται:
$dk = \sum F dx \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \frac {dx}{dt} \Rightarrow \frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)$

Άρα για το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας θα έχω $\frac {dk}{dt} = \sum F \cdot v(t)$

Επίσης, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε μια θέση ισούται με την ισχύ της συνισταμένης δύναμης στο σημείο αυτό, δηλ $\frac {dk}{dt} = \frac {dW} {dt} = P$

Ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας

Προφανώς έχει νόημα στις περιπτώσεις που διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Έτσι αν $E = K + U \Rightarrow \frac {dE}{dt} = \frac {dK}{dt} + \frac {dU} {dt}$ και επειδή Ε=σταθ δηλ $\frac {dE}{dt} = 0$ έχουμε ότι $\frac {dK}{dt} =- \frac {dU} {dt}$ που σημαίνει ότι αν διατηρείται η μηχανική ενέργεια, σε κάθε χρονική στιγμή οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας έχουν ίση απόλυτη τιμή αλλά αντίθετα πρόσημα

Ρυθμός μεταβολής της ορμής

Ξεκινώντας από τον 2ο Ν του Νεύτωνα δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ορμής σε μια θέση ισούται με τη συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση αυτή.

Θα εξετάσουμε κυρίως κινήσεις σε ευθεία, οπότε μπορούμε να γράψουμε $\sum F = ma \Rightarrow \sum F = m \frac {dv}{dt} \Rightarrow \sum F = \frac {d(mv)}{dt} \Rightarrow \sum F = \frac {dP}{dt}$ Η σχέση όμως είναι γενικότερη δηλ,

$\sum \vec{F} = \frac {d \vec{P}}{dt}$