0Θ3: Ρυθμοί μεταβολής: Παράδειγμα 1

0Θ3: Ρυθμοί μεταβολής

1 Σύνοψη θεωρίας και αποδείξεις

1.1 Παράδειγμα 1

Παράδειγμα1

Σώμα m=3Kg εκτοξεύεται τη χρονική στιγμή t_o=0s με ταχύτητα v_o=5m/s σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής μ=0,1. Να βρείτε

Το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος για όσο χρόνο αυτό κινείται
Το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του ενέργειας τη χρονική στιγμή t₁=3s

Λύση

Στο σώμα ασκούνται α) το βάρος του και β) τριβή ολίσθησης αντίθετα από την ταχύτητά του. Ορίζω χ'χ τον άξονα της κίνησης με θετική φορά προς τα δεξιά και y'y τον κάθετο σε αυτόν. Το σώμα κάνει στον χ'χ ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση και σταματάει αφού διανύσει διάστημα Sολ

Τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης $\sum F_x = T = -\mu m g$ . Άρα για όσο κινείται στον χ'χ ο ρυθμός μεταβολής της ορμής θα είναι

$\frac {dP}{dt} = -T = - \mu m g = - 0,1 \cdot 3 \cdot 10 = -3 \: Kg m /s^2$

Η επιτάχυνση στον χ'χ θα είναι $\alpha = \frac {T} {m} = -\mu g = -0,1 \cdot 10 = -1 m/s^2$ Άρα το σώμα θα σταματήσει μετά από $0 = 5 - |\alpha| \Delta t \Rightarrow \Delta t = 5 sec$ Συνεπώς στο 3 δευτερόλεπτο της κίνησης θα έχει ταχύτητα: $v(3) = 5-1 \cdot 3 = 2 m/s$ . Έτσι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας για t=3s θα είναι:

$\frac {dK}{dt}|_{t=3} = \sum F_x \cdot v(3) \Rightarrow \frac {dK}{dt}|_{t=3} = - \mu m g \: v(3 ) = -0,1 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 2 = -6 J/s$

ΠΡΟΣΟΧΗ: ο ρυθμός απώλειας κινητικής ενέργειας ΔΕΝ είναι σταθερός και άρα θα είναι ΛΑΘΟΣ αν πάρουμε τον τύπο (κινητική στα 3 sec - αρχική κινητική)/3 διότι αυτό μας δίνει το μέσο ρυθμό απώλειας στα πρώτα 3sec της κίνησης και όχι τον στιγμιαίο ρυθμό στο 3ο δευτερόλεπτο.

Φυσική Ο.Π. Γ Λυκείου